TEIGINIŲ LOGIKA

1. Sudėtingų loginių išraiškų teisingumo reikšmių nustatymas ir lentelių sudarymas
p q ~p ~q pq pq pq pq pq
t t k k t t k t t
t k k t k t t k k
k t t k k t t t k
k k t t k k k t t
Užduotis: Sudarykite teisingumo lentelę išraiškai: ~[(p  q)  (~p  ~q)].
Supaprastintas sprendimo variantas. Tais atvejais, kai sprendžiantysis tvirtai jaučiasi žinąs elementarių jungčių teisingumo lentelių reikšmes, ir galįs mintinai pasiskaičiuoti neiginių reikšmes, rekomenduojamas supaprastintas teisingumo lentelės sudarymo būdas. Ir šiuo atveju teisingumo lemtelės reikšmės nustatinėjamos pažingsniui, tik praleidžiamas pirmas ir antras žingsniai.
1. Lentelės parengimas.
p q ~ [( p  q )  ( ~ p  ~ q )]
t t
t k
k t
k k
Žingsn. Nr.

2. Lentelės užpildymas. Lentelė pildoma pažingsniui, pradedant nuo viduriniųjų skliaustų (pirmas žingsnis):
p q ~[( p  q ) ( ~ p  ~ q )]
t t t k
t k k k
k t k k
k k k t
Žingsn. Nr. 1 1

p q Nesude-
rinami (priešingi) k –nesude-
rinami (popriešingi) iš p išplau-
kia q iš q išplau
kia p tapatingi (lygiaverčiai) Prieštarau-
jantys
t t — t t t t —
t k t t — t — T
k t t t t — — T
k k t — t t t —
Antruoju žingsniu nustatoma laužtiniuose skliaustuose esančios išraiškos reikšmė:
p q ~ [( p  q )  ( ~ p  ~ q )]
t t t t k
t k k k k
k t k k k
k k k t t
Žingsn. Nr. 1 2 1

Trečiuoju žingsniu, užrašę 2-tojo žingsnio neigimą, gauname visos išraiškos teisingumo reikšmes:
p q ~ [( p  q )  ( ~ p  ~ q )]
t t k t t k
t k t k k k
k t t k k k
k k k k t t
Žingsn. Nr. 3 1 2 1

2. Pavyzdys:
Nustatykite teisingumo reikšmes išraiškai: ~(p  ~r)  (p  (q  r)), kai:
1. p = t, q = t, r = k;
2. p = t, q = k, r = k;
3. p = k, q = t, r = k.
Šioje užduotyje yra duota išraiška su 3 kintamaisiais, tačiau reikalaujama sudaryti ne visą teisingumo lentelę su 8 eilutėmis, o tik dalinę toms trims nurodytoms kintamųjų kombinacijoms.
Dalinę lentelę galima sudarinėti bet kuriuo vienu iš pirmajame pavyzdyje pademonstruotų būdų.
Sprendimas. Dalinę teisingumo lentelę sudarinėsime supaprastintu būdu.
1. Lentelės parengimas. Lentelė parengiama taip pat kaip ir pirmajame pavyzdyje.

p q r ~ ( p  ~ r )  ( p  ( q  r ))
t t k k t k t t
t k k k t k k k
k t k t k t t t
Žingsn. Nr. 2 1 3 2 1

2. Loginių santykių nustatymas
Kai yra duota sistema teiginių p, q, r, … (paprastų ar sudėtinų), kurie kažką tai teigia apie tarpusavyje susijusius realybės įvykius, svarbus uždavinys būna nustatyti, kokie loginės priklausomybės santykiai yra tarp tų teiginių.
Koks konkretus loginis santykis yra tarp teiginių, nustatoma pagal tai, kokių teisingumo reikšmių kombinacijos tarp tų teiginių yra negalimos.
Čia pateikiama dviejų teiginių – p ir q loginius santykius nusakanti lentelė, kurioje parodyta, kokio santykio atveju, kokios teisingumo reikšmių poros yra negalimos.

1. Pavyzdys: Nustatyti koks loginis santykis yra tarp konjunkcijos p = rs ir disjunkcijos q = r s.
Sprendimas: Sudarome rs ir r s teisingumo lenteles:

r s p = rs q = r s
t t t t
t k k t
k t k t
k k k k
Matome, kad yra pora t-t (pirma eilutė), yra pora k-t (antra ir trečia eilutės), ketvirta eilutė yra pora k-k, tačiau nėra poros t-k, jeigu konjunkcija yra teisinga, tai negalimas atvejis, kad disjunkcija būtų klaidinga.
Atsakymas: Tarp konjunkcijos ir disjunkcijos yra tas santykis, jog iš konjunkcijos visados išplaukia disjunkcija, arba (r  s)  (r  s).
2. Pavyzdys: Nustatyti koks loginis santykis yra tarp išraiškų p = ~r  ~s ir q = ~r  s.
Sprendimas: Sudarome išraiškų p = ~r  ~s ir q = ~r  s teisingumo lenteles ir pasižiūrime, kokių teisingumo reikšmių porų neegzistuoja.
r s p = ~r  ~s q = ~r  s
t t k t
t k t k
k t t t
k k t t
Matome, kad yra pora k-t (pirma eilutė), yra pora t-k (antra eilutė), yra pora t-t (trečia ir ketvirta eilutė), tačiau nėra poros k-k, reiškia negalimas atvejis, kad abi išraiškos būtų drauge klaidingos.
Atsakymas: Išraiškos p = ~r  ~s ir q = ~r  s yra popriešingos: tarp jų yra k-nesuderinamumo santykis.

3. KALBOS TEKSTŲ FORMALIZAVIMAS TEIGINIŲ LOGIKOS PRIEMONĖMIS
sprendimo žingsniai: perskaityti; kiek elementarių teiginių;pasižymėti simboliais elementarius teiginius; jeigu nepakankamai aišku,
atlikti sakinio prasmės loginių galimybių analizę; nustatyti kokius loginius santykius išreiškia sudėtinis sakinys, užrašyti išraišką.
1. Pavyzdys:Formalizuoti patarlę: “Degtinei į trobą įeinant protas išeina laukan”.
1. Sakinį sudaro du elementarūs teiginiai:
p – degtinė įeina į trobą,
q – protas išeina laukan.
2. Sakinio prasmė: “Jeigu degtinė įeina į trobą, tai protas išeina laukan”. Elementarius teiginius sieja implikacijos jungtis; simboliškai tai užrašoma taip: p  q.
2. Pavyzdys: Formalizuoti patarlę: “Degtinė ir alus gimdo vargus”.
1. Sakinį sudaro du elementarūs teiginiai:
p – degtinė gimdo vargus;
q – alus gimdo vargus.
2. Sakinio prasmė: “Alus arba degtinė, arba abu drauge gimdo vargus”. Elementarius teiginius sieja silpnosios disjunkcijos jungtis; simboliškai tai užrašoma taip: p  q.
3. Pavyzdys: Formalizuoti patarlę: “Pienas ir lašiniai – laisvi viduriai”.
1. Sakinį sudaro trys elementarūs teiginiai:
p – asmuo geria pieną;
q – asmuo valgo lašinius;
r – asmuo viduriuoja.
2. Sakinio prasmė: “Jei asmuo drauge geria pieną ir valgo lašinius, tai asmuo viduriuoja”. Elementarius teiginius sieja konjunkcijos ir implikacijos jungtys; simboliškai tai užrašoma taip: (p  q)  r.
4. Pavyzdys: Formalizuoti patarlę: “Devynis kartus atmatuok, dešimtą kartą nupjauk”.
1. Sakinį sudaro du elementarūs teiginiai:
p – asmuo devynis kartus matuoja;
q – asmuo dešimtą kartą nupjauna.
2. Sakinio prasmė nėra iš karto visai aiški, todėl tikslinga atlikti sakinio prasmės loginių galimybių analizę. Analizuosime, kokios elementarių teiginių teisingumo reikšmės atitinka patarlės prasmę, o kokios prieštarauja:
p=t, q=t – asmuo devynis kartus matuoja ir dešimtą nupjauna – atitinka prasmę;
p=t, q=k – asmuo devynis kartus matuoja, tačiau dešimtą nepjauna neprieštarauja;
p=k, q=t – asmuo devynis kartus nematuoja tačiau dešimtą nupjauna prieštarauja;
p=k, q=k – asmuo devynis kartus nematuoja ir dešimtą nepjauna neprieštarauja.
Matome, jog sakinio prasmė neleidžia trečio atvejo, kai nupjaunama neatmatavus, taigi: “Jeigu asmuo devynis kartus neatmatuoja, tai neatpjauna”. Simboliškai tai užrašoma taip: ~p  ~q.
Loginių galimybių analizę galima interpretuoti ir kitaip. Jeigu negalima teisingumo reikšmių pora p=k, q=t, tai reiškia, kad tarp teiginių yra santykis iš q išplaukia p; simboliškai tai užrašoma: q  p.
Žinome, kad šios dvi išraiškos ekvivalentiškos: (~p  ~q)  (q  p) – tai kontrapozicijos dėsnis.

4. SIMBOLINIŲ IŠRAIŠKŲ SKAITYMAS IR UŽRAŠYMAS
Simbolinę išraišką taisyklingai perskaityti ir tą tekstą užrašyti raštu arba atlikti atvirkščią operaciją – žodžiais pateiktą formulės išraišką užrašyti simboliais.
1. Pavyzdys: Perskaitykite išraišką: (p  ~ q)  (~p  q) ir užrašykite perskaitytą tekstą, sugalvokite originalų, išraišką atitinkantį, kalbos sakinį.
Sprendimas.1. Užduoties išraiška skaitoma taip: “Jei iš p išplaukia ne-q, tai iš ne-p išplaukia q”.
2. Interpretacija: Pasižymime:
p – “asmuo turi problemų”,
q – “asmuo turi ramybę.
Tada duotąją išraišką atitiks toks sakinys: “Iš to, kad, jei asmuo turi problemų, tai jis neturi ramybės, išplaukia, kad jei asmuo neturi problemų, tai jis turi ramybę”.

2. Pavyzdys:
Užduotis: Sakinius:
a) Netiesa, kad jeigu p ir q, tai r”,
b) “Jei ne p ir q, tai r”,
c) “Iš to, kad netiesa, jog p ir q, išplaukia r”, arba “Jei netiesa, kad p ir q, tai r”
užrašykite simboliais; sugalvokite kiekvienam iš jų originalų, išraišką atitinkantį, kalbos sakinį.
Sprendimas.Užduoties sakiniai užrašomi taip:
a) ~( (p  q)  r );
b) ( ~p  q )  r;
c) ~( p  q )  r.
2. Interpretacija: Pasižymime:
p – asmuo yra talentingas,
q – asmuo yra kvalifikuotas,
r – asmeniui sekasi verslas.
Tada duotąsias išraiškas atitiks tokie sakiniai:
a) “Netiesa, kad jei tu talentingas ir kvalifikuotas, tai tau sekasi verslas”,
b) “Jei tu netalentingas, bet kvalifikuotas, tai tau sekasi verslas”,
c) “Jei nebūsi ir talentingas ir kvalifikuotas, tai tau seksis verslas”.

5. TEIGINIŲ LOGIKOS DĖSNIAI
1. Pavyzdys:Užrašykite De Morgano taisyklės konjunkcijai simbolinę išraišką, užrašykite raštu kaip ta išraiška turi skambėti skaitoma, pateikite savo sugalvotą interpretacijos pavyzdį.
1. De Morgano taisyklės konjunkcijai simbolinė išraiška yra: ~(p  q)  (~p  ~q).
2. Skaitoma: “Netiesa, kad p ir q, ekvivalentiška tam, kad ne-p arba ne-q”.
3. Interpretacija: Pasižymime:
p – “asmuo myli žmoną”,
q – “asmuo myli uošvę”.
Tada teiginys “Netiesa, kad asmuo myli ir žmoną ir uošvę” ekvivalentiškas teiginiui “Asmuo nemyli arba žmonos arba uošvės”, arba abiejų.
2. Pavyzdys:Užrašykite antecedento teigimo dėsnio simbolinę išraišką (teiginių logikoje), užrašykite raštu kaip ta išraiška turi skambėti skaitoma, pateikite savo sugalvotą samprotavimo pavyzdį, kuriame išvedimo taisyklė turi antecedento teigimo dėsnio pavidalą.
Sprendimas.
1. Antecedento teigimo dėsnio simbolinė išraiška yra: ((pq)p)q.
2. Skaitoma: “Jeigu iš p išplaukia q ir yra p, tai yra q”.
3. Interpretacija: Pasižymime:
p – “skaičius dalinasi iš 4”,
q – “skaičius lyginis”.
Tada samprotavimas:
jeigu skaičius dalinasi iš 4, tai jis lyginis,
skaičius iš 4 dalinasi,
Vadinasi, skaičius lyginis.
Gali būti užrašytas simboliškai taip:
pq,
p
q ,
arba viena eilute: ((pq)p)q,
taigi, samprotavimas turi antecedento teigimo dėsnio pavidalą.

6. SAMPROTAVIMŲ PAGRĮSTUMO NUSTATYMAS
žingsniai:suprasti kiek elementarių teiginių yra samprotavime pasižymėti simboliais elementarius teiginius;
samprotavimą užrašyti simboliškai, o po to perrašyti viena eilute; nustatyti ar gauta simbolinė išraiška yra logikos dėsnis ir koks.

1. Pavyzdys:Samprotavimą:
Jei durys užrakintos, tai jos neatsidaro;
Durys neatsidaro_________________;
Vadinasi, durys užrakintos.
formalizuokite teiginių logikos simboliais, nustatykite ar samprotavimas pagrįstas, t. y., ar jo išvedimo taisyklė yra logikos dėsnis. Jei taip, tai koks?
Sprendimas. 1. Samprotavimas, įsigilinus į jo prasmę, neatrodo pagrįstas, nes durys gali neatsidaryti ir dėl kitų priežasčių (pavyzdžiui, gali būti užrūdiję vyriai).
2. Samprotavime yra du elementarūs teiginiai: Pasižymime:
p – “durys yra užrakintos”,
q – “durys neatsidaro”.
3. Tada samprotavimas simboliškai užrašomas taip:
pq
q___
p
arba viena eilute:((pq)  q)  p.
4. Logikos dėsnis su tokia simboline išraiška nėra žinomas, vadinasi samprotavimas nėra pagrįstas.
2. Pavyzdys:Samprotavimą:
Metant monetą iškrenta arba herbas arba pinigas;
Metant monetą iškrito herbas_______________;
Vadinasi, neiškrito pinigas.
formalizuokite teiginių logikos simboliais, nustatykite ar samprotavimas pagrįstas, t. y., ar jo išvedimo taisyklė yra logikos dėsnis. Jei taip, tai koks?
Sprendimas.1. Samprotavimas, įsigilinus į jo prasmę, atrodo pagrįstas, nes mėtant monetą yra galima tik viena iš dviejų alternatyvų; įvykus vienai, negali vykti antra.
2. Samprotavime yra du elementarūs teiginiai: Pasižymime:
p – “metant monetą iškrito herbas”;
q – “metant monetą iškrito pinigas ”.
3. Tada samprotavimas simboliškai užrašomas taip:
pq
p___
~q
arba viena eilute: ((pq)  p)  ~q.
4. Tai griežtosios alternatyvos teigimo dėsnis, vadinasi samprotavimas yra pagrįstas.

SAVYBIŲ LOGIKA

1. Kalbos tekstų formalizavimas savybių logikos priemonėmis
Reikalaujama sąlygos sakinyje išskirti elementarias to sakinio prasmę sudarančias savybes, pažymėti jas simboliais ir susieti tuos simbolius jungtimis taip, kad gautosios išraiškos prasmė atitiktų sakinio prasmę.
žingsniai:jeigu nepakankamai aišku, kokie loginiai ryšiai sieja tarpusavyje elementarius teiginius, atlikti sakinio prasmės loginių galimybių analizę; nustatyti kokius loginius santykius išreiškia sudėtinis sakinys, užrašyti išraišką.
1. Pavyzdys:Formalizuoti savybių logikos priemonėnis patarlę: “Niekas negimsta išminčiumi”.
Teiginių analizė. Patarlės prasmėje galima išskirti du teiginius:
p – asmuo yra tik ką gimęs,
q – asmuo yra išminčius,
kuriais galima perduoti patarlės prasmę – “Netiesa, kad asmuo yra tik ką gimęs ir jau yra išminčius”. Simboliškai tai užrašoma taip:
~ (p  q ).Tačiau tokia formalizacija netiksliai perduoda patarlės prasmę
Sprendimas. Pasižymėkime:
x– bet kuris asmuo,
NG(x)- asmens savybė būti naujagimiu,
I(x)-asmens savybė būti išminčiumi.
Pastaba. Čia NG(x) atitinka teiginį p, o I(x) – teiginį q.
1: Sakinio prasmė: “Neegzistuoja asmens, kuris būtų drauge ir naujagimis ir išminčius”. Elementarias savybes, kaip ir teiginius (p ir q) sieja konjunkcijos jungtis o asmenų visumą charakterizuoja neegzistavimo savybė:
~x (NG(x)  I(x)).
2. Pavyzdys:Formalizuoti savybių logikos priemonėnis sakinį: “Ir namai ir fabrikai puošia miesto veidą”.
Teiginių analizė. Sakinio prasmėje galima išskirti du teiginius:
p – namai puošia miesto veidą,
q – fabrikai puošia miesto veidą,
kuriais galima perduoti sakinio prasmę – “Namai, fabrikai, arba abu drauge puošia miesto veidą”. Simboliškai tai užrašoma taip: (p  q ).
Sprendimas. Pasižymėkime:
x– bet kuris pastatas,
N (x)- pastatas turi savybę būti namu,
F(x)- pastatas turi savybę būti fabriku,
P(x)-pastatas turi savybę puošti miesto veidą.
Pastaba. Čia teiginius atitinka jau ne viena, o dvi savybės:
teiginį p (N(x)  P(x)),
o teiginį q (F(x)  P(x)).
Sakinio prasmė: “Bet kuris pastatas, jeigu jis yra namas arba jis yra fabrikas, tai jis puošia miesto veidą” užrašoma taip:
x [ (N (x)  F(x))  P(x) ].
3. Pavyzdys: Formalizuoti savybių logikos priemonėnis patarlę: “Kvaila galva nei žyla nei plinka”.
Teiginių analizė. Sakinio prasmėje galima išskirti du teiginius:
p – kvaila galva nežyla,
q – kvaila galva neplinka,
kuriais galima perduoti sakinio prasmę – “Kvaila galva ir nežyla ir neplinka”. Simboliškai tai užrašoma taip:(p  q ).
Sprendimas. Pasižymėkime:
x – bet kuris objektas,
KG (x) – objektas turi savybę būti kvaila galva,
Ž(x) – objektas turi savybę žilti,
P(x) – objektas turi savybę plikti.
Sakinio prasmė: “Bet kuris objektas, jeigu jis yra kvaila galva, tai jis nežyla ir neplinka” užrašoma taip:
x [ KG(x)  ( ~Ž(x)  ~P(x)) ].

2. Simbolinių išraiškų skaitymas ir užrašymas savybių logikoje
Šio tipo užduotyse yra reikalaujama simbolinę išraišką taisyklingai perskaityti ir tą tekstą užrašyti raštu arba atlikti atvirkščią operaciją – žodžiais pateiktą formulės išraišką užrašyti simboliais.
1. Pavyzdys: Perskaitykite išraišką: x(L(x)  ~K(x))  x(K(x)  L(x)) ir užrašykite perskaitytą tekstą, sugalvokite originalų, išraišką atitinkantį sakinį.
Sprendimas.1. Užduoties išraiška skaitoma taip: “Egzistuoja x-ai, kurie turi savybes L ir ne-K, ir kiekvienas x-as, jei jis turi savybę K, tai turi ir savybę L”.
2. Interpretacija: Pasižymime:
x – bet kuris asmuo
L(x) – asmuo yra ligonis (turi savybę būti ligoniu),
K(z) – asmuo karščiuoja (turi savybę karščiuoti).
Tada duotąją išraišką atitiks toks sakinys: “Pasitaiko ligonių, kurie nekarščiuoja, tačiau kiekvienas karščiuojantis asmuo yra ligonis”.
2. Pavyzdys: Sakinį: “Jeigu egzistuoja x-sai, turintys ir savybę F ir savybę G, tai reiškia jog egzistuoja x-sai, kurie turi savybę F ir egzistuoja x-sai, kurie turi svybę G” užrašykite simboliais; sugalvokite jam atitinkančią originalią, literatūrinės, kalbos interpretaciją, užrašykite sklandžia literatūrine kalba.
Sprendimas.Užduoties sakinys užrašomas taip:
x [ F(x)  G(x)]  [ x F(x)  x G(x) ].
2. Interpretacija: Pasižymime:
x– bet kuris dainininkas
F(x) – dainininkas turi katės balsą,
G(x) – dainininkas apie save gerai galvoja,
duotoji išraiška gali būti interpretuota tokiu sakiniu: “Jeigu yra dainininkų, kurie nors ir kniaukia katės balsu, tačiau apie save gerai galvoja, tai galima tvirtinti, kad yra dainininkų turinčių katės balsus ir yra dainininkų, turinčių apie save gerą nuomonę”.

3. Dualumo principo taikymas savybių logikos išraiškoms
simbolinę išraišką pakeisti jai dualia, taisyklingai ją perskaityti ir tą tekstą užrašyti raštu.
1Pavyzdys: Pritaikykite logikos dėsniui: x[ F(x)  G(x) ]  [xF(x)  xG(x) ] dualumo principą ir gautą naują logikos dėsnį užrašykite simboliškai. Perskaitykite ir užrašykite raštu kaip skamba naujai gauta išraiška
Sprendimas.Užduoties sakinys,visus simbolius pakeitus jiems dualiais, užrašomas taip:
x[ F(x)  G(x) ]  [ xF(x)  xG(x) ].
Ši išraiška gali būti perskaityta taip: „Egzistuoja x-sai turintys savybę F ir turintys savybę G tada ir tik tada, kai egzistuoja x-sai turintys savybę F ir egzistuoja x-sai turintys savybę G”.
Ši išraiška gali būti perskaityta ir kitaip: „Išraiška „Egzistuoja x-sai turintys savybę F ir turintys savybę G” ekvivalenti išraiškai „Egzistuoja x-sai turintys savybę F ir egzistuoja x-sai turintys savybę G””.

4. Savybių logikos išraiškų pertvarkymas
simbolinėje išraiškoje vienus kvantorius pakeisti kitais, mokėti išraiškas supaprastinti, pereiti nuo išraiškos prie teksto ir atvirkščiai.
1. Pavyzdys:
Sakinį:“Viskas liūdna ir nemiela” formalizuoti savybių teorijos simboliais, paaiškinant simbolių prasmę;
pasinaudjant vienų kvantorių keitimo kitais kvantoriais taisyklėmis, formalią išraišką pakeisti jai ekvivalenčia simboline išraiška,
naujos simbolinės išraiškos prasmę užrašyti sklandžia literatūrine kalba
Sprendimas.
Pasižymime:
x – bet kuris objektas
L(x) – asmeniui dėl objekto x yra liūdna,
M(x) – asmeniui dėl objekto x yra miela,
tada sakinys “Viskas liūdna ir nemiela” formaliai užrašomas taip:
x(L(x)  ~M(x));
pritaikę kvantorių keitimo taisyklę: xF(x)  ~x~F(x), sakinį perrašome:
x(L(x)  ~M(x))  ~x~(L(x)  ~M(x));
pritaikęDe Morgano taisyklę: ~(pq)  (~p ~q), sakinį perrašome:
~x~(L(x)  ~M(x))  ~x(~L(x)  ~~M(x));
ir, panaikinę dvigubą neigimą, bei sukeitę dizjunkcijos narius vietomis:
~x(~L(x)  ~~M(x)  ~x((M(x)  ~L(x));
perskaitome: “Nėra nieko mielo arba neliūdno”

2. Pavyzdys: Sakinį:“Kiekvienas genelis turi margas plunksnas”
formalizuoti savybių teorijos simboliais, paaiškinant simbolių prasmę,
pasinaudjant vienų kvantorių keitimo kitais kvantoriais taisyklėmis, formalią išraišką pakeisti jai ekvivalenčia simboline išraiška,
tinkamai pertvarkius išraišką, naujos simbolinės išraiškos prasmę užrašyti sklandžia literatūrine kalba

Sprendimas.
Pasižymime:
x – bet kuris objektas
G(x) – x-as yra genelis,
M(x) – x-as turi margas plunksnas,
tada sakinys “Kiekvienas genelis turi margas plunksnas” formaliai užrašomas taip:
x(G(x)  M(x));
pritaikę kvantorių keitimo taisyklę: xF(x)  ~x~F(x), sakinį perrašome:
x(G(x)  M(x))  ~x~(G(x)  M(x));
remdamiesi tautologija (p  q)  (~p  q) implikaciją išraiškoje keičiame disjunkcija:
~x~(G(x)  M(x))  ~x~(~G(x)  M(x));
pritaikę De Morgano taisyklę: ~(pq)  (~p  ~q), sakinį perrašome:
~x~(~G(x)  M(x))  ~x(~~G(x) ~ M(x))
ir, panaikinę dvigubą neigimą:
~x(~~G(x) ~ M(x))  ~x(G(x) ~ M(x));
perskaitome: “Nebūna genelių nemargomis plunksnomis”.

3. Pavyzdys: Sakinį:“Kai kurie valdininkai yra alkoholikai”
formalizuoti savybių teorijos simboliais, paaiškinant simbolių prasmę,
pasinaudjant vienų kvantorių keitimo kitais kvantoriais taisyklėmis, formalią išraišką pakeisti jai ekvivalenčia simboline išraiška,
tinkamai pertvarkius išraišką, naujos simbolinės išraiškos prasmę užrašyti sklandžia literatūrine kalba
Sprendimas.
Pasižymime:
x – bet kuris objektas
V(x) – x-as yra valdininkas,
A(x) – x-as yra alkoholikas,
tada sakinys “Kai kurie valdininkai yra alkoholikai” formaliai užrašomas taip:
x(V(x)  A(x));
pritaikę kvantorių keitimo taisyklę: xF(x)  ~x~F(x), sakinį perrašome:
x(V(x)  A(x))  ~x~ (V(x)  A(x));
pritaikę De Morgano taisyklę: ~ (p  q)  (~p~q), sakinį perrašome:
~x~ (V(x)  A(x))  ~x (~V(x)  ~A(x));
remdamiesi tautologija (p  q)  (~p  q) disjunkciją išraiškoje keičiame implikacija:
~x (~V(x)  ~A(x))  ~x (V(x)  ~A(x));
ir perskaitome: “Ne visi valdininkai ne alkoholikai”.

5. BŪTINŲ IR PAKANKAMŲ SĄLYGŲ UŽRAŠYMAS
Šio tipo užduotyse yra žinoma objektų klasė X = {x} ir tos klasės x objekto požymis P(x). Reikalaujama simboliškai užrašyti būtiną ar pakankamą sąlygas, kad objektas x priklauso klasei X.
1. Pavyzdys:Duota: K = {x} – krioklių klasė, PŽ(x) – krioklio (objekto x) savybė, jog jo vanduo puola žemyn. Užrašykite simboliškai būtiną sąlygą objektui x priklausyti krioklių klasei.
Sprendimas.Paaiškinimas: Jeigu bet kuris objektas x yra krioklys, tai jo vanduo būtinai puola žemyn, tačiau ne visais atvejais, kai vanduo puola žemyn (pvz., fontano atveju) objektas yra krioklys. Taigi, būtina sąlyga užrašoma taip:
(x  K)  PŽ(x).
2. Pavyzdys: Duota: B = {x} –klasė asmenų baustų administracine nuobauda, G(x) –savybė būti girtu vairuotoju sučiuptu už vairo. Užrašykite simboliškai pakankamą sąlygą objektui x priklausyti administraciškai baustų asmenų klasei B.
Sprendimas.
Paaiškinimas: Jeigu bet kuris vairuotojas pagaunamas girtas už vairo, tai to pakanka, kad jis būtų administraciškai nubaustas, tačiau asmuo gali būti administraciškai nubaustas ir dėl kitų priežasčių. Taigi, pakankama sąlyga užrašoma taip:
G(x)  (x  B).

SANTYKIŲ LOGIKA

1. Kalbos tekstų formalizavimas santykių logikos priemonėmis
reikalaujama sąlygos sakinyje išskirti elementarius to sakinio prasmę sudarančius santykius ir savybes, pažymėti juos simboliais ir susieti tuos simbolius jungtimis taip, kad gautosios išraiškos prasmė atitiktų sakinio prasmę.
1. Pavyzdys: Formalizuoti santykių logikos priemonėmis patarlę: “Gerų tėvų geri vaikai”.
Teiginių analizė. Patarlės prasmėje galima išskirti du teiginius:
p – tėvai yra geri,
q – vaikai yra geri,
kuriais galima perduoti patarlės prasmę – “Jeigu tėvai yra geri, tai ir vaikai yra geri”. Simboliškai tai užrašoma taip:
p  q.
Sprendimas. Pasižymėkime:
x, y – bet kuris asmuo,
y T x – y- as yra gimdytojas (vienas iš tėvų) x-ui,
G(x) – x-as yra geras (turi savybę būti geru),
G(y) – y-as yra geras (turi savybę būti geru),
Patarlės prasmė: “Visiems x-ams ir visiems y-ams, jei y-as yra x-o gimgytojas ir yra geras, tai ir x-as yra geras” simboliškai užrašoma taip:
x y [ (yTx  G(y))  G(x)].

2. Pavyzdys: Formalizuoti santykių logikos priemonėmis patarlę: “Kas savo kalbą niekina, tas kitos neišmoks”.
Teiginių analizė. Patarlės prasmėje galima išskirti du teiginius:
p – asmuo niekina savo kalbą,
q – asmuo moka kitą kalbą,
kuriais simboliškai galima užrašyti patarlės prasmę:
p  ~q.
Sprendimas. Pasižymėkime:
x– bet kuris asmuo,
y, y0– bet kuri kalba,
x SK y0 – x-ui sava kalba yra y0,
x NK y0 – x-as niekina kalbą y0,
x M y – x-as moka kalbą y,
y0  y – y0 yra kita kalba negu y.
Patarlės prasmė: “Visiems x-ams ir visiems y-ams egzistuoja tokia kalba y0, kad jei x-ui y0 yra sava kalba ir x-as niekina y0, o y yra kita kalba negu y0, tai x-as nemoka kalbos y”. Simboliškai užrašoma taip:
x y y0 [ (x SK y0  x NK y0  y0  y)  ~(x M y)].

3. Pavyzdys: Formalizuoti santykių logikos priemonėmis patarlę: “Mėgsta kaip prūsas vištas”.
Teiginių analizė. Patarlės prasmėje galima išskirti du teiginius:
p – asmuo mėgsta kažką,
q – prūsas mėgsta vištas,
kuriais galima perduoti patarlės prasmę, kad “Asmuo mėgsta kažką lygiai taip pat, kaip prūsas mėgsta vištas”. Simboliškai tai užrašoma taip:
p  q.
Predikatų (santykių) logikos priemonėmis tai galima užrašyti taip:
Sprendimas. Pasižymėkime:
x– bet kuris asmuo,
y– bet kuris objektas,
p– prūsas,
v– višta,
x M y –asmuo x mėgsta objektą y,
p M v –prūsas mėgsta vištas.
Patarlės prasmė yra ta, jog nurodo, kad yra toks asmuo ir yra toks objekas kuriems abu mėgimo santykiai yra tokie patys. Simboliškai užrašoma taip:
x y [ xMy  p M v].

2. Veiksmai su santykiais – šeimyninių santykių apibrėžimai
uždaviniai su giminystės santykiais.
1. Pavyzdys: Apibrėžti santykį “tėvas” per santykį “gimdytojas” (vienas iš tėvų) ir savybę būti vyru.
Sprendimas. Apibrėžimas: Vienas asmuo yra tėvas kito asmens tada ir tik tada, kai jis yra vyras ir yra gimdytojas to kito asmens
Pažymėjimai:
xTy x-as yra y-ko tėvas,
xGy x-as yra y-ko gimdytojas,
V(x) x-as yra vyras.
Tada sąvoka “tėvas” bus apibrėžiama kaip savybės ir santykio konjunkcija tokiu būdu: x y [ xTy  (V(x)  xGy)].

2. Pavyzdys: (santykių daugyba)Apibrėžti santykį “brolis” per santykį “gimdytojas” (vienas iš tėvų) ir savybę būti vyru.
Sprendimas. Apibrėžimas: Vienas asmuo yra brolis kito asmens tada ir tik tada, kai jis yra vyras ir egzistuoja kažkas kas yra gimdytojas jų abiejų.
Pažymėjimai:
xBy x-as yra y-ko brolis,
xGy x-as yra y-ko gimdytojas,
V(x) x-as yra vyras.
Tada sąvoka “brolis” bus apibrėžiama tokiu būdu:
x y [ xBy  (V(x)  z ( zGx  zGy ))].

3. Pavyzdys: (santykių kompozicija) Apibrėžti santykį “dėdė” per santykį “gimdytojas” (vienas iš tėvų) ir santykį “brolis”.
Sprendimas.Apibrėžimas: Vienas asmuo yra dėdė kito asmens tada ir tik tada, kai jis yra brolis gimdytojo to kito asmens.
Pažymėjimai:
xDy x-as yra y-ko dėdė
xBy x-as yra y-ko brolis,
xGy x-as yra y-ko gimdytojas,
V(x) x-as yra vyras.
Tada sąvoka “dėdė” bus apibrėžiama tokiu būdu:
x y [ xDy  z ( xBz  zGy )].

4. Pavyzdys: (santykių konversija) Apibrėžti santykį “vaikas” per santykį “gimdytojas” (vienas iš tėvų).
Sprendimas.Apibrėžimas: Vienas asmuo yra vaikas kito asmens tada ir tik tada, jei tas kitas asmuo yra gimdytojas pirmojo.
Pažymėjimai:
xVKy x-as yra y-ko vaikas
xGy x-as yra y-ko gimdytojas.
Tada sąvoka “vaikas” bus apibrėžiama tokiu būdu:
x y [ xVKy  yGx ].

3. Apibrėžimas santykių, kaip Dekarto sandaugos poaibių
Šio tipo užduočių sąlygose pateikiamos dvi aibės – X ir Y ir santykis xRy. Užduotyse reikalaujama išrašyti visas tas poras (x, y)  R, kurios išreiškia santykį R  XY suprantamą, daip Dekarto sandaugos XY poaibį.
1. Pavyzdys: Duota objektų aibė: X = {Kaunas, Šanchajus, Viena} ir objektų aibė Y = {Afrika, Amerika, Europa}. Užrašykite (išvardindami poras (x, y)) Dekarto sandaugos XY poaibį R  XY, kuris išreiškia santykį xRy  „x-as yra žemyne y”.
Sprendimas. Poaibį sudaro tos poros, kurių pirmasis narys yra miestas, o antrasis – žemunas, kuriame tas miestas yra.
R  XY = {(Kaunas, Europa), (Viena, Europa)}.

2. Pavyzdys:Duota objektų aibė: X = {kiškis, vilkas, lokys} ir objektų aibė Y = {ožka, kiškis, kopūstas}. Užrašykite (išvardindami poras (x, y)) Dekarto sandaugos XY poaibį R  XY, kuris išreiškia santykį xRy  „x-as mėgsta y”.
Sprendimas. Poaibį sudaro tos poros, kurių pirmasis narys yra gyvūnas x, o antrasis – maistas y, kurį tas gyvūnas mėgsta.
R  XY = {(kiškis, kopūstas), (vilkas, ožka), (vilkas, kiškis)}.

KLASIŲ LOGIKA

1. Kategorinių teiginių formalizavimas
Šio tipo užduočių sąlygose pateikiami kategoriniai teiginiai, aprašantys klasių santykius. Užduotyse reikalaujama mokėti įsivesti klasių ir poklasių simbolinius pažymėjimus, užrašyti teiginį tais simboliais, nustatyti, kokie santykiai tarp teiginyje minimų klasių ir pavaizduoti juos Veno diagramomus.
1. Pavyzdys: (bendrasis teigimas)
Kategorinį teiginį “Visi medžiai yra augalai” formalizuoti klasių logikos priemonėmis, nustatyti santykius tarp klasių ir pavaizduoti skritulinėmis (Veno) diagramomis.
Sprendimas. Pasižymime:
A = {ai}- augalų klasė,
M = {mi}- medžių klasė
Tada teiginys “Visi medžiai yra augalai” simboliškai bus užrašomas tokiu būdu:
x [ (x  M)  ( x  A) ].
Tarp medžių klasės M ir augalų klasės A yra
subordinacijos santykis: M  A.
Tai, kad medžiai (M) yra augalų (A) poklasis
Veno diagramomis vaizduojama taip:

2. Pavyzdys: (bendrasis neigimas)
Užduotis: Kategorinį teiginį “Nei vienas paukštis nėra medis” formalizuoti klasių logikos priemonėmis, nustatyti santykius tarp klasių ir pavaizduoti skritulinėmis (Veno) diagramomis.
Sprendimas. Psižymime:
P = {pi} – paukščių klasė,
M = {mi}- medžių klasė
Tada teiginys “Nei vienas paukštis nėra medis” simboliškai bus užrašomas tokiu būdu:
~x [ (x  M)  ( x  P) ].

Tarp medžių klasės M ir paukščių klasės P yra
nuošalės santykis: M  P = . Veno diagramos
tai vaizduojanepersikertančiais skrituliais:

3. Pavyzdys: (dalinis teigimas)
Užduotis: Kategorinį teiginį “Kai kurie medžiai yra techninėa kultūros” formalizuoti klasių logikos priemonėmis, nustatyti santykius tarp klasių ir pavaizduoti skritulinėmis (Veno) diagramomis. Simboliškai apibrėžti “medžių, techninių kultūrų” klasę.
Sprendimas. Psižymime:
TK = {ai}- techninių kultūrų klasė,
M = {mi}- medžių klasė,
MTK = {mi} – medžių, techninių kultūrų klasė.
Tada teiginys “Kai kurie medžiai yra techninėa kultūros” simboliškai bus užrašomas tokiu būdu:
x [ (x  M)  ( x  TK) ].
o klasė “medžiai, techninės kultūros” bus nusakoma kaip klasių M ir S sandauga:
MTK = M TK = { mi  ((mi  M)  ( mi  TK)) }
Tarp medžių klasės M ir techninių kultūrų klasės
TK yra perkirtimo santykis: M  TK  . Veno
diagramos tai vaizduoja persikertančiais skrituliais:

4. Pavyzdys: (dalinis neigimas)
Kategorinį teiginį “Kai kurie medžiai nėra statybinės žaliavos” formalizuoti klasių logikos priemonėmis, nustatyti santykius tarp klasių ir pavaizduoti skritulinėmis (Veno) diagramomis. Simboliškai apibrėžti “medžių, ne statybinių žaliavų” klasę.
Sprendimas. Pasižymime:
S = {si} – statybinių žaliavų klasė,
M = {mi}- medžių klasė,
MNS = {mj} – medžių, ne statybinių žaliavų klasė.
Tada teiginys “Kai kurie medžiai nėra statybinės žaliavos” simboliškai bus užrašomas tokiu būdu:
x [ (x  M)  ( x  S) ],
o klasė “medžiai, ne statybinės žaliavos” bus nusakoma kaip klasių M ir S skirtumas:
MNS = M–S = { mi  ((mi  M)  ( mi  S)) }.
Tarp medžių klasės M ir statybinių žaliavų
klasės S yra perkirtimo santykis: M  S  .
Veno diagramos tai vaizduoja persikertančiais
skrituliais:

2. Klasių skirstymas ir apibrėžimai
reikalingos žinios apie klasių skirstymą į poklasius, skirstymo sąlygas; supratimas apie ryšį tarp klasių skirstymo ir poklasių apibrėžimo gimine ir rūšiniu skitrumu ir sugebėjimas tuos dalykus užrašyti simboliais.
1. Pavyzdys: Suskirstyti klasę “pietų valgiai” į poklasius, raštu užrašyti poklasių pavadinimus ir skirstymo pagrindą. Klasę, poklasius ir skirstymo pagrindą pažymėti simboliais, parodyti, jog yra patenkintos skirstymo sąlygos, užrašyti kurio nors iš poklasių apibrėžimą gimine ir rūšiniu skirtumu (žodžiu ir simboliškai).
Sprendimas.:Klasę “pietų valgiai” skirsysime į 4 poklasius: “šalti užkandžiai”, “sriubos”, “karšti patiekalai”, “deserto valgiai”. Skirstymo pagrindas – eilės tvarka, kuria patiekalai privalo būti patiekiami į stalą.
Pasižymime:
P = {xi} – pietų valgiai,
Š = {xi} – šalti užkandžiai,
S = {xi} – sriubos,
K = {xi}- karšti patiekalai,
D = {xi} – deserto valgiai.
F = { pirmas valgis antras valgis trečias valgis, ketvirtas valgis} – skirstymo pagrindo reikšmių aibė.
Skirstymo sąlygos:
1. Poklasiai paporiui nepersidengia: (ŠS)=, (ŠK)=, (ŠD)=, … , (KD)=.
2. Poklasiai drauge sudaro visą klasę: ( Š  S  K  D ) = P,
3. Skirstymas vykdomas vienu pagrindu – kiekvienam poklasiui skirta po vieną skirstymo pagrindo reikšmę.
Deserto apibrėžimas: Desertas yra toks pietų valgis, kuris valgomas pietų pabaigoje (ketvirtas iš eilės). Giminė – “pietų valgis”, rūšinis skirtumas – “valgomas pietų pabaigoje”.
Simboliškai apibrėžimas užrašomas taip:
D = {xi  ketvirtas valgis(x) }.

3. Informacijos, esančios hierarchinėje klasifikacijoje, simbolinis užrašymas
mokėti simboliškai užrašyti hierarchinėje klasifikacijoje asančias žinias apie klasių skirstymą į poklasius, skirstymo sąlygas; mokėti užrašyti klasių ir savybių logikos priemonėmis poklasių apibrėžimus gimine ir rūšiniu skitrumu.
1. Pavyzdys: Duota stuburinių gyvūnų klasifikacija. Užrašykite į kokius poklasius pirmame lygyje yra suskirstyta klasė „Stuburuniai”. Klasę, poklasius ir požymius pažymėkite simboliais, užrašykite simboliškai visas šios klasės skirstymo sąlygas.
Sprendimas: Pasižymime:
ST = {x} – stuburiniai,
BE = {x} – beinksčiai,
RO = {x} – ropliai,
ŠI = {x} – šiltakraujai,
TP(x) – x-so temp. pastovi,
TI(x) – x-sas turi inkstus.
Skirstymo sąlygos:
1. Poklasiai sudaro vieną klasę:
ST = BE  ŠI  RO;
2. Klasės paporiui nepersidengia:
BE  ŠI = , BE  RO = , RO  ŠI = ;
3. Skirstymas turi bendrą pagrindą – du požymius: TI(x) ir TP(x).

2. Pavyzdys:Duota stuburinių gyvūnų klasifikacija. Užrašykite raštu klasės „Žuvys” apibrėžimą gimine ir rūšiniu skirtumu. Giminę, rūšį ir požymį pažymėkite klasių logikos simboliais, apibrėžimus užrašykite simboliškai.
Sprendimas: Apb.: Žuvys yra tokie beinksčiai, kurie nekvėpuoja oru.
Pasižymime:
BE = {x} – beinksčiai (giminė),
ŽU = {x} – žuvys (rūšis),
KO(x) – x-sas kvėpuoja oru (rūšinis skirtumas),
Apibrėžimas klasių logikos priemonėmis simboliškai užrašomas taip:
ŽU={ xBE  ~KO(x) }.

3. Pavyzdys:
Užduotis: Duota stuburinių gyvūnų klasifikacija. Užrašykite raštu klasės „Žinduoliai” apibrėžimą gimine ir rūšiniu skirtumu. Giminę, rūšį ir požymį pažymėkite savybių logikos simboliais, apibrėžimus užrašykite simboliškai.
Sprendimas: Apb.: Žinduoliai yra tokie šiltakraujai, kurie maitina vaikus pienu.
Pasižymime:
x – bet kuris gyvūnas,
ŠI(x) – x – sas yra šiltakraujis (giminė),
ŽI(x) – x – sas yra žinduolis (rūšis),
MP(x) – x-sas maitina savo vaikus pienu (rūšinis skirtumas),
Apibrėžimas savybių logikos priemonėmis simboliškai užrašomas taip:
x [ŽI(x)  (ŠI(x)  MP(x))].
Šis simbolinis užrašas yra skaitomas taip: „Bet kuris gyvūnas yra žinduolis tada ir tik tada, jei jis yra šiltakraujis ir savo vaikus maitina pienui”.